Spørgsmål:
Beviser et termodynamisk forhold mellem $ (\ partial H / \ partial T) _p $ og $ (\ partial U / \ partial T) _V $
ANZGC FlyingFalcon
2020-01-24 19:56:20 UTC
view on stackexchange narkive permalink

(Dette spørgsmål er taget fra opgave 1.1 (b) i bogen Chemical Thermodynamics: Principles and Applications.) $ \ kræver {begingroup} \ begingroup \ newcommand {\ pd} [ 3] {\ left (\ frac {\ partial # 1} {\ partial # 2} \ right) _ {\! # 3}} $

Prove $$ \ pd HTp = \ pd UTV + \ venstre [V - \ pd HpT \ højre] \ pd pTV. \ tag {1} $$

Først udtrykte jeg $ H $ som $ U + PV $ og tog delafledningen mod $ T $ og holdt trykket konstant:

$$ \ pd HTp = \ pd UTp + p \ pd VTp \ tag {2} $$

Udtrykker $ U $ som en funktion af $ (T, V) $ :

$$ \ pd UTp = \ pd UTV + \ pd UVT \ pd VTp \ tag {3} $$

Brug af den velkendte identitet, som $$ \ pd pVT \ pd TpV \ pd VTp = -1, \ tag {4} $$

$$ \ pd UVT \ pd VTp = - \ pd UpT \ pd pTV = \ left [V - \ pd UpT - V \ pd ppT \ right] \ pd pTV \ tag {5} $$

Dette betyder selvfølgelig, at

$$ \ pd HTp = \ pd UTV + \ left [V - \ pd HpT \ right] \ pd pTV + p \ pd VTp \ tag {6} $$

Baseret på mit arbejde er der en tilføjelse nal $$ p \ pd VTp $$ sigt. Er mit arbejde forkert? Jeg kan ikke finde min fejl. $ \ endgroup $

Det kan være en god idé at lave en ny kommando til et delvis derivat for at spare dig selv for smerte.Jeg kan give dig et eksempel om et stykke tid ...
sæt i starten af dit indlæg: `$ \ kræver {begingroup} \ begingroup \ newcommand {\ pd} [3] {\ left (\ frac {\ partial # 1} {\ partial # 2} \ right) _ {\! # 3}} $ `og i slutningen af dit indlæg` $ \ endgroup $ `... og mellem disse linjer kan du nu bruge` $ \ pd {V} {T} {p} $ `(eller endda`\ pd VTp` selvom jeg ikke anbefaler at gøre sidstnævnte til en vane, medmindre du forstår hvorfor det fungerer uden seler).
Jeg anbefaler også displaystilmatematik, dvs. `$$ ... $$` eller hvis det virkelig er nødvendigt `$ \ displaystyle ... $`.
Kan du uddybe, hvad skærmstil er?Jeg er ikke så fortrolig med det.
Jeg tror (meget forsigtigt), at spørgsmålet måske er forkert.Min arbejde ud af RHS (omend ved en anden tilgang) giver også en inkonsekvens.Kan nogen kontrollere og bekræfte?
Jeg tror, du laver en fejl, når du skriver udtrykket for $ \ left (\ frac {\ partial V} {\ partial T} \ right) _p $
@orthocresol Hvorfor fungerer det uden seler?Og hvorfor brugte du "{\! # 3}" i stedet for bare "{# 3}" til at definere kommandoen?Jeg prøvede det både med og uden den tilføjede `\!` I min TeX-editor, og det gav de samme resultater begge veje (for både med og uden seler).
@theorist Sandheden, jeg forstår det ikke helt selv ... men det har noget at gøre med, hvordan TeX scanner efter argumenter.Normalt læser det bare en ting ad gangen (enten et bogstav eller en kontrolsekvens som '\ alpha') og behandler det som et argument.Gruppering af flere ting sammen med krøllede seler giver dig mulighed for at videregive mere end et tegn ad gangen.Det betyder også, at hvis du kun ønsker et argument med en karakter, er det unødvendigt at omslutte det i seler (selvom det er meget mere kendt for de fleste at have seler) [...]
[...] `\!` er bare kosmetisk.Du ved sandsynligvis, at det er et "negativt rum".Jeg finder ud af, at den underskrevne værdi uden den er for langt væk fra parenteserne;men det er bare personlig præference.Hvis du er interesseret i seler, er der altid Knuths gode gamle TeXBook, som jeg synes forklarer denne adfærd meget nøje.
@orthocresol Jeg kan virkelig godt lide dette - at undgå seler er meget rart for effektivitet.Jeg kan muligvis stille et spørgsmål på TeX SE, der spørger, om der er nogen chance for, at det kan forårsage problemer (forudsat at du holder den ene tegnbegrænsning).Hvis jeg gør det, linker jeg det her.
@orthocresol: Se https://tex.stackexchange.com/questions/525656/is-it-a-problem-to-implement-a-user-defined-command-without-using-braces
@theorist, Jeg skulle have, men advarede dig ikke om, at det ville være 99% en kopi af noget.TeX.SE har været stærkt i mange år og har seriøse eksperter derovre, herunder flere mennesker involveret i LaTeX-kerneudvikling.Derfor er næsten alt, hvad en rookie som mig måske tænker på at spørge, blevet bedt om.:)
@orthocresol Det er OK.Jeg søgte TeX SE grundigt (ved hjælp af forskellige søgeudtryk) inden jeg sendte og kunne ikke finde et lignende spørgsmål, så bogføring var faktisk nyttigt, fordi det begge gav mig et svar og et link til et lignende spørgsmål.
En svar:
Buck Thorn
2020-01-25 02:30:06 UTC
view on stackexchange narkive permalink

$ \ kræver {begingroup} \ begingroup \ newcommand {\ pd} [3] {\ left (\ frac {\ partial # 1} {\ partial # 2} \ right ) _ {\! # 3}} $

Jeg starter fra

$$ dH = \ pd HTp dT + \ pd HpT dp $$

Dette giver anledning til

$$ \ pd HTV = \ pd HTp + \ pd HpT \ pd pTV $$

hvor du kan genkende nogle af komponenterne i løsningen. Siden

$$ dH = dU + PdV + VdP $$

så

$$ \ pd HTV = \ pd UTV + V \ pd pTV $$

det følger, at

$$ \ pd UTV + V \ pd pTV = \ pd HTp + \ pd HpT \ pd pTV $$

som let omarrangeres for at opnå den ønskede ligning. $ \ endgroup $

Tak for dit svar!Kan jeg spørge, hvor jeg gik galt i mit forkerte bevis?Jeg er ikke for sikker på, hvorfor mit første udtryk er forkert.
@ANZGCFlyingFalcon Det ser ud til, at du flubbede udskiftningen af Eq 4 i Eq 3 (se det midterste udtryk i Eq 5).
Hvis jeg skulle tage RHS på (5) og gange det med (4), ville jeg ikke få LHS?(Naturligvis ville tegnet blive + ve, men du får hvad jeg mener.)
For at få $ (\ frac {\ partial U} {\ partial p}) _ T $ anbefaler jeg at starte fra den differentielle form af U = H-PV og tage den afledte wrt p ved konstant T. Jeg er ikke sikker på, hvordan du ankommerpå dit resultat er det svært for mig at følge.


ⓘ
Denne spørgsmål og svar blev automatisk oversat fra det engelske sprog.Det originale indhold er tilgængeligt på stackexchange, som vi takker for den cc by-sa 4.0-licens, den distribueres under.
Loading...